sábado, 23 de enero de 2016

Sucesiones Geométricas

Definición de sucesión geométrica

Una sucesión $a_{1}, a_{2},..., a_{n},...$ es una sucesión geométrica si $a_{1} \neq 0$ y si hay un número real $r \neq 0$ tal que para todo entero positivo

El número $r = \frac{a_{k+1}}{a_{k}}$ se conoce la razón común de la sucesión.

Observa que la razón común $r = \frac{a_{k+1}}{a_{k}}$ es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica

Teorema: fórmula para hallar $S_{n}$

La n-ésima suma parcial $S_{n}$ de una sucesión geométrica con primer término $a_{1}$ y razón común $r \neq 1 es$

El n-ésimo término de una sucesión aritmética

Teorema: fórmulas para $S_{n}$

Si $a_{1}, a_{2}, a_{3},...,a_{n},...$ es una sucesión aritmética con diferencia común

, entonces la n-ésima suma parcial $S_{n}$ (esto es, la suma de los primeros

términos), está dada por

Demostración

Podemos escribir
$S_{n}=a_{1}+a_{2} +a_{3} +...+a_{n}$
$=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+...+[a_{1}+(n-1)d]$ .

Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta
$S_{n}=(a_{1}+a_{1}+a_{1}+...+a_{1})+[d+2d+...+(n-1)d]$ ,

con $a_{1} n$ veces dentro del primer par de paréntesis. Así
$Sn=na_{1}+d[1+2+...+(n-1)]$ .

La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros n-1

enteros positivos. Con la fórmula para la suma de los primeros

enteros positivos, $S_{n}=n(n+1)/2$ , entonces tenemos

Sustituimos en la última ecuación por $S_{n}$ y factorizamos n/2

con lo cual

Puesto que $a_{n} = a_{1}+(n-1)d$ , la última ecuación es equivalente a

Historia de Gauss

LA maestra de Johann Carl Friedrich Gauss llego a dar la clase y les puso a todos sus alumnos un ejercicio en la pizarra que creía que les iba a llevar tiempo y podría descansar. El ejercicio era sumar los primeros 100 número enteros (del 1 al 100), pocos tiempo paso cuando Gauss dijo que habia terminado, la maestra pensó, "Deplano que no quiere trabajar"; su sorpresa fue que el ya habia resuelto el ejercicio, pero no solo eso sino que el resultado era correcto. La maestra le pregunto -¿como resolviste tan rápido el problema?- y el contesto -me di cuenta que si sumaba el ultimo con el primero (1+100) me daba 101, si sumaba el segundo con el penúltimo (2+99) también daba 101, y así sucesivamente hasta el 50 y 51 que también daban 101, así que lo que hice fue multiplicar 101*50; y así saque el resultado "5,050"-. Gauss solo tenia 10 años de edad.

SUCESIONES ARITMÉTICAS

Una sucesión $a_{1}, a_{2},...,a_{n},...$ es una sucesión aritmética si hay un número real

tal que para todo entero positivo

El número $d=a_{k+1}-a_{k}$ se le llama diferencial común de la sucesión.

Dada una sucesion aritmetica:

     k+1 = a+ d

para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar terminos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica con diferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo que resulta

Observa que la diferencia común

es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.

jueves, 29 de octubre de 2015

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES
REDONDEO
NÚMERO	DÉCIMAS	CENTESIMAS	MILÉSIMAS
π
3,141592	3,1	3,14	3,142
ERROR ABSOLUTO
Ea	0,04	0	-0,002
ERROR RELATIVO
Er	1,01	1	0,999
PORCENTAJE
%	101	100	99,9

lunes, 5 de octubre de 2015

Sistemas de numeración modernos
Un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base es igual al número de símbolos, llamados cifras, que se utilizarán para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La base a elegida debe ser un número natural superior a 1; una vez fijada la base, es necesario elegir a signos diferentes y a nombres diferentes para representar y nombrar los primeros números inferiores a a.
En el caso en que a=10 se trata del sistema de numeración decimal, sistema utilizado de manera general, y cuyo origen es casi con seguridad el número de dedos de las manos. Los símbolos utilizados son, en este caso, las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
En el caso en que a=2 se trata del sistema de numeración binaria, sistema utilizado por razones tecnológicas en las máquinas de cálculo, en particular en los ordenadores. Los símbolos utilizados son entonces las cifras 0 y 1. Las calculadoras utilizan también el sistema de base 8, o sistema octal.
En el caso de que a=12 se trata del sistema de numeración duodecimal, y los doce símbolos utilizados son las cifras 0, 1, 2, …, 9, a las cuales se agregan los signos y .
En el caso en que a=60 se trata del sistema de numeración sexagesimal, utilizado especialmente para las medidas de tiempo y de ángulos.
La elección de una base demasiado pequeña provoca rápidamente la utilización de un gran número de cifras para la escritura de los números (el número 9, en base 2, se escribe 1001). La elección de una base grande hace necesaria la utilización de un número elevado de símbolos.
La representación escrita de los números naturales se fundamenta en el hecho de que todo número natural se puede expresar de forma única como combinación lineal de potencias de la base elegida, siendo los coeficientes de la combinación números naturales estrictamente inferiores a la base (estos números pueden ser nulos).

domingo, 4 de octubre de 2015

El Sistema de Numeración Maya

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.
Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.
El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.

El Sistema de Numeración Chino
La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 AC. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000.

El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura.
No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.