sábado, 23 de enero de 2016

El n-ésimo término de una sucesión aritmética

                                                      a_{n}=a_{n-1}+(n-1)d

Teorema: fórmulas para S_{n}

Si a_{1}, a_{2}, a_{3},...,a_{n},... es una sucesión aritmética con diferencia común d, entonces la n-ésima suma parcial S_{n} (esto es, la suma de los primeros n términos), está dada por
                                        S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]      o      S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{2})

Demostración

Podemos escribir
S_{n}=a_{1}+a_{2} +a_{3} +...+a_{n}
=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+...+[a_{1}+(n-1)d].
Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta
S_{n}=(a_{1}+a_{1}+a_{1}+...+a_{1})+[d+2d+...+(n-1)d],
con a_{1} n veces dentro del primer par de paréntesis. Así
Sn=na_{1}+d[1+2+...+(n-1)].
La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros n-1 enteros positivos. Con la fórmula para la suma de los primeros n enteros positivos, S_{n}=n(n+1)/2, entonces tenemos
                                                   1+2+...+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}
Sustituimos en la última ecuación por S_{n} y factorizamos n/2con lo cual
                                       S_{n}=na_{1}+d\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d].
Puesto que a_{n} = a_{1}+(n-1)d, la última ecuación es equivalente a
                                                      S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n}).

Historia de Gauss

LA maestra de Johann Carl Friedrich Gauss llego a dar la clase y les puso a todos sus alumnos un ejercicio en la pizarra que creía que les iba a llevar tiempo y podría descansar. El ejercicio era sumar los primeros 100 número enteros (del 1 al 100), pocos tiempo paso cuando Gauss dijo que habia terminado, la maestra pensó, "Deplano que no quiere trabajar"; su sorpresa fue que el ya habia resuelto el ejercicio, pero no solo eso sino que el resultado era correcto. La maestra le pregunto -¿como resolviste tan rápido el problema?- y el contesto -me di cuenta que si sumaba el ultimo con el primero (1+100) me daba 101, si sumaba el segundo con el penúltimo (2+99) también daba 101, y así sucesivamente hasta el 50 y 51 que también daban 101, así que lo que hice fue multiplicar 101*50; y así saque el resultado "5,050"-. Gauss solo tenia 10 años de edad.
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