Índice: Apuntes de geometría. 

1. El triángulo 
2. Lugares geométricos 
3. Movimientos en el plano 
4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas
5. La esfera y el globo terráqueo 
6. Bibliografía

1.-El TRIÁNGULO

1.1 Tipos de Triángulos
Un triángulo es un polígono con tres lados.

Propiedades de los triángulos:

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
Tipos de triángulos

Triángulo equilátero                Triángulo isósceles                   Triángulo escaleno

                                              

Tres lados iguales.               Dos lados iguales.                       Tres lados desiguales.

                                            

2 Según sus ángulos:

21 Rectas y puntos notables en el triángulo.

Triángulo acutángulo                       Triángulo rectángulo              Triángulo obtusángulo
Tres ángulos agudos       Un ángulo recto.El lado mayo es la hipotenusa.      Un ángulo obtuso
                                        Los lados menores son los catetos.

                                                

1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo

Incentro

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma ,el radio de la circunferencia

                                

Baricentro

El baricentro es un triángulo que es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo siendo una mediana del segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto y para ello se representar gráficamente el baricentro, debemos de dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan

                           

Circuncentro

El circuncentro es un triángulo que esta en el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo y por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma del radio de dicha circunferencia.Para representar gráficamente el circuncentro hay que dibujar las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.

                            

Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de un intersección de las tres alturas del triángulo (la altura del segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice).Para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos,tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. 

                                

1.3 El teorema de Pitágoras 

Es un triángulo rectángulo es el cuadrado de la hipotenusa que es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
                                            
                                           

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

                     
2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

                    

3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo.

Para que sea un rectángulo al cuadrado de lado mayor tiene que ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

 1.3.1 Demostración gráfica.

    http://gaussianos.com/lo-que-se-puede-hacer-con-geogebra-ixdemostracion-visual-del-teorema-de- pitagoras/

1.3.2 El teorema en 3D
  https://www.youtube.com/watch?v=bnJtVW3LXkU

1.4. El teorema de Tales.

Si dos rectas cuales quieras que se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales de  los segmentos correspondientes a la otra.

                          

                 

2. Lugares geométricos

2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?

Se llama un lugar geométrico se un conjunto de puntos que se cumplen una determinada propiedad.
La propiedad geométrica que se define en el lugar geométrico y que tiene en traducirse un lenguaje algebraico de ecuaciones.

2.2 La mediatriz y la bisectriz 

Mediatriz

Es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio
                                                

Bisectriz.

Es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman el ángulo.La bisectriz es de un ángulo de la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.

                                              

2.3 Las cónicas

2.3.1 ¿Qué es una cónica?

Se denomina la sección cónica o solo cónica,todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano,dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro:elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

2.3.2 La circunferencia

La  circunferencia es un lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro, en una cantidad constante que se denomina radio.

Dispóngase del círculo, que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en el interior de dicha circunferencia,la circunferencia es el perímetro del círculo. 

2.3.3 La elipse:

Es un lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante

                                      

• Obtención en un cono

Debemos de dibujar un circulo de centro C y un punto S en el interior del círculo. Desde cualquier punto Q de la circunferencia se traza la perpendicular a SQ. El conjunto de dichas rectas envuelve a un elipse. Cuanto más cerca esté S de C, más parecida a una circunferencia será la elipse obtenida (menor será su excentricidad).

• Método del jardinero.

Se denomina “del jardinero”, a este método porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos.

El método se basa en una definición más corriente de la elipse, un  lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Se colocan en el lugar de los focos y la cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor.La cuerda tensa se mueve el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los dos focos.

• Mesa de billar elíptica 

Se coloca la bola en el foco “F” e impúlsala con el taco en la dirección que quieras. Siempre entra en el agujero, salvo imperfecciones en la nivelación o excesivo efecto en la bola. 

Si entrará la bola si la lanzas desde otro sitio pero la haces pasar por el foco “F”. 

En una elipse, las líneas que unen los focos con un punto cualquiera de la curva forman con ella ángulos iguales.Si la bola viene por una de esas líneas, después de “reflejarse” en la curva seguirá por la otra línea y por tanto, pasará por el otro foco.

                                       

2.3.4 La hipérbola:

• Obtención en un cono 

Se dibuja un círculo de centro C y un punto S exterior a la circunferencia. Se traza la perpendicular a SQ, para cualquier punto Q de la circunferencia. La familia de rectas obtenida es la envolvente de una hipérbola. Las perpendiculares CA y CB ,la circunferencia que pasan por S son las asíntotas de la hipérbola, rectas a las que la hipérbola se acerca en el infinito.

• La lámpara hiperbólica

Las figuras sobre la pared, estan formadas por la luz de la lámpara, se pueden reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara del tipo que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared.

                  

2.3.5 La parábola: 

• Obtención en un cono

Debemos de dibujae una recta cualquiera L ,un punto S no situado en ella. Desde cualquier punto Q de la recta trazamos la perpendicular a SQ. La cantidad suficiente de rectas así construidas envuelven a una parábola con foco en el punto S.

• La antena parabólica

La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar un reflector parabólico, la superficie en realidad es un paraboloide de revolución

                                          

• El horno solar 

Es un horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas,es para usos industriales.Se concentran la luz sobre un punto focal. La temperatura en el punto focal puede alcanzar los 3500 °C, y este calor puede ser usado para generar electricidad, fundir acero, fabricar combustible de hidrógeno o nanomateriales.

                                       

• El espejo parabólico

La similitud con los Espejos Esféricos, son aquellos cuya superficie es engendrada por la rotación alrededor de su eje de la curva llamada parábola. La propiedad fundamental de esta curva es la siguiente:
Una propiedad geométrica simple de la parábola es la base de muchas aplicaciones importantes. Si F es el foco y P es un punto cualquiera de la parábola, la tangente en P forma ángulos iguales con FP y con GP, que es paralela al eje de la parábola. Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión

3. Movimientos en el plano

3.1 Las translaciones. ¿Qué es un vector?

Se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales, no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. Los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos.

3.5 Frisos, mosaicos y cenefas 

Un friso es la aplicación sucesiva de una traslación a una misma figura. También reciben el nombre de cenefas.

Se puede generar un friso mediante traslaciones sucesivas mediante una misma figura y se modifica el valor de n para ir generando las distintas piezas y que se forman el friso

En la siguiente escena puedes generar un friso mediante traslaciones sucesivas a una misma figura. Modifica el valor de n para ir generando las distintas piezas que forman el friso.

                                      

Un mosaico es todo del plano mediante piezas  que no pueden superponerse ni pueden dejar huecos. Existe una infinidad de tipos de mosaicos,  los más simples son los basados en un único tipo de pieza, se puede tomar diferentes colores o matices.

                                      
3.6 MC. Escher.

Escher nació un 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden Holanda. La mayoría de los genios, no fue un estudiante destacado en el colegio, a pesar de lo cual su talento artístico ya se vislumbraba en este periodo. Su padre le introdujo al mundo de la carpintería y le enseño otras habilidades manuales. Comenzó los estudios de Arquitectura, pero una vez allí, Escher se dió cuenta de que su auténtica pasión eran las artes gráficas. Tras dos años, obtuvo una especialización en técnicas gráficas y trabajo sobre madera y se dedicó a viajar por el sur de Francia . A lo largo de su carrera como artista, Escher se centró en el arte de la estructura, rama hacía la que sentía una especial atracción. En estos trabajos Escher reflejó su predilección por la estructura de las construcciones en detrimento del paisaje en sí. La Alhambra de Granada (España), visitada por Escher en incontables ocasiones, fue el edificio que impresionó de forma definitiva a nuestro personaje gracias a las recargadas ornamentaciones moriscas de sus muros, las cuales se repartían el espacio disponible de forma esquemática y perfecta. Esta cautivación le influyó en sus creaciones posteriores a 1937, en las que muestran una división regular del plano y sus famosos patrones de repetición. Su visión única del espacio y de las matemáticas le permitieron dibujar una numerosa colección de fantásticos dibujos hasta su muerte en 1972.

4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas

               

5. La esfera y el globo terráqueo

5.1 Elementos principales de la esfera

• Superficie esférica

Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro.

• Esfera

Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

• Elementos de una esfera:

Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.

Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

                              

5.2 Elementos de la esfera terrestre.   

• Polos: los puntos de corte de la esfera terrestre con su eje de giro (eje terrestre). Se llaman Polo Norte y Polo Sur. 
• Ecuador: la circunferencia que se obtiene al cortar la superficie terrestre por un plano perpendicular al eje terrestre en su punto medio. 
• Paralelos: las circunferencias paralelas al Ecuador. 
• Meridianos: las circunferencias que se obtienen al cortar la superficie terrestre con un plano que contiene a su eje. Todos ellos pasan por los polos.

                             

5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial.

• Huso horario: La Tierra tarda 24 horas en realizar una vuelta de 360º. Por tanto, por cada hora que pasa, realiza un giro de 15º, con un total de 24 giros de 15º. Esto es lo que es un huso horario. 
• Tiempo solar: Es una medida del tiempo fundamentada en el movimiento aparente del Sol sobre el horizonte del lugar. Toma como origen el instante en el cual el Sol pasa por el meridiano, que es su punto más alto en el cielo, denominado mediodía. A partir de este instante se van contando las horas en intervalos de 24 partes hasta que completan el ciclo diurno.

                                    

• El tiempo solar verdadero: Es el intervalo entre dos regresos sucesivos del Sol al meridiano. Puede ser medido con un reloj de sol, y se corresponde con el amanecer, el mediodía o el anochecer. 
• El tiempo solar medio: Es el viaje a velocidad constante del sol a lo largo del año, y es la base para definir el día solar medio. Se corresponde con el tiempo civil y se coordina mediante el Tiempo Medio de Greenwich.

                                       

5.4 El método de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia terrestre

Estando en la Biblioteca de Alejandría,Eratóstenes encontró un informe de observaciones sobre Siena, ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandría, en el que se decía que el día del solsticio de verano  a mediodía, los objetos no producían sombra y en el fondo de los pozos podía verse la luz del sol. Esto se debe a que está ciudad está sobre la línea del trópico.

Eratóstenes realizó observó que, en Alejandría, el mismo día y a la misma hora no se producía este mismo hecho. Asumió de manera correcta que el Sol se encontraba a gran distancia y que sus rayos, al alcanzar la tierra, lo hacían en forma  paralela. Esto ratificaba su idea de que la superficie de la Tierra era curva pues, de haber sido plana, no se hubiese producido esta diferencia entre las dos ciudades. El siguiente paso fue medir en Alejandría el ángulo que formaban los rayos del sol con la vertical que por construcción es igual al ángulo cuyo vértice está en el centro de la Tierra . Este ángulo resulto ser de 7º 12' ( = 7'2º) que unido al hecho conocido de que la distancia entre las dos ciudades era de 5.000 estadios, dieron como conclusión que la circunferencia de la Tierra medía 360·5000/7'2; es decir, 250.000 estadios. Con estos elementos dedujo la circunferencia de la Tierra con un error bastante pequeño, lo que constituye un logro notable para el año en que tuvo lugar.

BIBLIOGRAFÍA

• http://www.vitutor.com/geo/esp/f_7.html
• http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u7/M3_U7_contenidos/33_frisos_y_mosaicos.html
• Wikipedia

MATEMÁTICAS: ACTIVIDADES SOBRE FUNCIONES 

 1ª PARTE: Conceptos básicos 1. 
1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?
-Se puede expresar de varias formas como: gráficas, expresiones algebraicas, textos...

2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos:
- Una función es una magnitud o una cantidad si el valor de la primera depende de la segunda. Es la relación entre dos incógnitas (X Y)

-Se puede expresar de varias formas como: gráficas, expresiones algebraicas, textos...

-Ejemplos de funciones en la vida cotidiana:



EVOLUCIÓN DEL PRECIO DEL PETRÓLEO



 RECORRIDO DE UN PELOTA CUANDO ES LANZADAR



AUMENTO DE LA TEMPERATURA EN LA TIERRA

3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder
-Es la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas, el incremento de “x” entre el de “y”. En las crecientes positivo y en las decrecientes negativo.

4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos.
- Los mínimos y máximos relativos se refieren a los puntos que sobresalen dentro de la función.Los relativos sobresalen pero dentro de una función puede haber varios puntos de este tipo

5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría.

-Es simétrica respecto al origen

-Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica: f(−x) = −f(x)

-Es simétrica respecto al eje y

-Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica: f(−x) = f(x)

6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.

-Se llama función periódica por que siempre se repite el mismo patrón

7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?

-Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.

-Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?

-Una función es el propósito o tarea que se le atribuye a una cosa. Proviene del latín functĭo, funciōnis, y significa ‘ejecución, ejercicio de una facultad’.

9. Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas

.a) Función creciente

y=2x-1

b) Función lineal constante:

y=3

c) Función lineal decreciente:

y=-3x1

d) Rectas paralelas:

e) Función cuadrática cóncava:

f(x)=-x2

f) Función cuadrática convexa:

f(x)=x2                                    

la Leyenda que el rey Shirham

Cuenta la leyenda que el rey Shirham, rey de la India, quedó tan impresionado con el juego de ajedrez que se ofreció a regalarle a su inventor, Lahur, lo que pidiera como recompensa.
Así, el inventor para darle una lección de humildad, le pidió lo siguiente: un grano de
t trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta... y así sucesivamente, duplicando en cada casilla la cantidad de la anterior hasta llegar a la última.

El rey extrañadísimo de lo poco con lo que se conformaba ordenó que le dieran lo que
pedía, pero cuando sus contables echaron cuentas, vieron asombrados, que no había trigo en el reino, ni siquiera en toda la tierra para juntar esa cantidad.

CROMATOGRAFÍA

La cromatografía es un método químico de separación de sustancias basado en las distintas velocidades a las que se distribuyen los componentes de una mezcla. La técnica se realiza con dos fases que no se pueden mezclar, una estacionaria en un medio sólido que la contiene y otra móvil, un disolvente que fluye.
La cromatografía se utiliza para separar o purificar mezclas químicas y para estudiar o identificar su composición.

La cromatografía en papel es una técnica sencilla que se utiliza para realizar análisis cuantitativos de sustancias. La fase estacionaria está constituida simplemente por una tira de papel de filtro. La muestra se deposita en un extremo. Luego el disolvente empleado como fase móvil se hace ascender por capilaridad. Así podemos separar mezclas de diferentes pigmentos y colorantes.

FÍSICA & QUÍMICA

FÍSICA & QUÍMICA

                                        

                         Métodos de Separación 

 Objetivo

1. Hay que diferenciar el mezclado heterogéneo y homogénea.
2. Hay que separar los componentes de la mezcla de los diferentes procedimientos y la función de las sustancias.
3. Y por último  hay que experimentar el método de la separación del mezclado.

Teoría

Los compuestos de una mezcla está formada por la unión de sustancias en cantidades variables y que no se encuentran químicamente combinadas. Una mezcla no tiene un conjunto de propiedades únicas, sino que cada una de las sustancias constituyentes aportan al todo con sus propiedades específicas.

Las mezclas están compuestas por una sustancia, que es el medio, en el que se encuentran una o más sustancias en menor proporción, las mezclas pueden ser homogéneas o heterogéneas.

• Homogéneas: Son  cuyos componentes no son identificables a simple vista, se aprecia  con una sola fase física.
• Heterogénea : Son aquellas  en la que no se pueden distinguir sus componentes a simple vista, apreciándose más de una fase física.
  

Técnicas de Separación de la Heterogénea

 

Filtración: Se utiliza para separar los componentes de una mezcla heterogénea de sólidos insolubles en líquidos

Evaporación: Se utiliza para separa sólidos,  soluble y otro no.

Decantación: Es una técnica que se usa para mezclar  un líquido inmiscibles y líquidos que tienen diferentes densidades.

Separación magnética: Se utiliza para separar sólidos magnéticos.

Sublimación: Se utiliza para  separa sólidos volátiles

 

 

Técnicas de separación Homogéneas

 

Cristalización: Se utiliza para separar un soluto de un disolvente, por evaporación y enfriamiento.

Destilación: Se utiliza para separar dos líquidos inmiscibles, de diferente punto de ebullición.

Cromatografía: Se utiliza para separar solutos por diferente absorción en un material poroso.

 

Desarrollo

Materiales.

• Vaso precipitado.
• Embudo
• Papel de Filtro
• Agua 
• Arena
• Sulfato de Cobre 

Procedimiento

 

Se coloca la arena-sulfato de cobre en un vaso de precipitado que se añade al agua hasta aproximadamente  y se agita con la varilla de vidrio hasta que el sulfato de cobre se disuelva totalmente.
Se prepara un filtro de papel y se coloca en el embudo. Cuando esta preparado, se vierte el contenido del vaso, poco a poco, el filtro del embudo se va  recogiendo el filtrado en un vaso de precipitados. Cuando parte del líquido se haya evaporado, se dejará enfriar unos instantes y luego se verterá en un cristalizador.

 

                                                                             

 La Imitación o Separación Magnética.

 

Materiales

• Cina
• Vidrio Reloj
• Imán
• Papel de Filtro

  

 

 

Procedimiento

 

Se coloca el sistema de hierro-Cina en un vidrio reloj, se forra el imán con papel de filtro

Se desliza el imán sobre la mezcla, hasta conseguir la separación y se recoge los dos componentes por separado